We call this chapter "Geometry for Americans" instead of "Geometry for Dummies" so as not to offend. The sad truth is that most mathematically inclined Americans know very little geometry, in contrast to their luckier peers in Eastern Europe and Asia. But it is never too late to learn. Geometry is a particularly fun topic to study, because you are compelled to draw lots and lots of pictures.
-- Paul Zeitz, Chapter 8: Geometry for Americans, The Art and Craft of Problem Solving, 2nd Edition

为了避免冒犯他人,我们把这章称为“美国人的几何”而非“笨蛋的几何”。不容乐观的事实是:如果拿美国人与东欧和亚洲的同龄人相比,他们是不幸的,因为他们几乎不懂几何。但是活到老学到老,在任何时候,您都可以选择重新开始学习几何。而且,尽管您不得不画很多图,可研究几何就是格外有趣。
--(美)保罗·蔡茨《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第2版)》第8章:美国人的几何

解决数学难题,其中的乐趣是无穷的。国际数学奥林匹克竞赛,向来是数学天才的竞技场,激励着众多的青少年勇攀高峰。《怎样解题:数学竞赛攻关宝典(第2版)》是学习解决问题技巧的极好的书。前4章总论解题的策略和战术,接着3章是代数、组合数学、数论,第8章讲述基础几何,最后一章微积分。一册在手,尽享解题之美。作者在“第二版前言”中说:

增加了有关几何的一章。这一章主要是为初学者提供帮助的,所以章名叫做“美国人的几何”。我希望这样做能够使解题新手在解决几何问题时,也能像对付离散数学那样增添信心。

初等几何蕴藏着许多瑰宝,顾森《思考的乐趣》第17章“几何之美:三角形的心”有所论述。

现在让我们来看看“美国人的几何”。容易证明“三角形的三条中垂线交于一点(外接圆圆心)”(《怎样解题》第8章题8.2.21,请尝试自行证明)。想证明“三角形的三条高线共点”则困难得多,要应用“异想天开”的战术。

例8.2.23 证明:对于任何三角形,三条高线共点。这个点称为三角形的垂心

解答 如何证明三条高线交于同一点呢?其他还有什么线是共点的呢?中垂线几乎能如我们所愿,因为它们交于同一点,即外接圆圆心。然而,高线垂直于对边。但一般情况下,它们并不平分对边。那么,存在什么方法使它们平分某个对象吗?是的!灵活的技巧就是:让平分点在顶点上,而不在边上。

在下面的图中,由任意三角形ABC开始,然后过每个顶点作对边的平行线。这三条平行线形成了一个更大的三角形,DEF,它包含ABC。

令m为三角形ABC过点B的高。当然,根据定义,m垂直于AC。但因为DE∥AC,则m也垂直于DE。

注意:ADBC是平行四边形。因此有AC=BD。类似地,AC=BE。因此,点B是DE的中点。故m是DE的中垂线。

通过类似的推理可得:三角形ABC的另两条高是EF和FD的中垂线。因此,这三条高线交于一点--三角形DEF的外接圆圆心!

下面这道练习题也很有趣,灵光一闪可能就找到答案了(大家先自己想一想,明天贴上我的解答):

题8.2.28 尺规作图
(j) 给定一个圆和圆内两点P, Q,作该圆的内接直角三角形,使得一条直角边过P,另一条直角边过Q。根据P, Q的位置,有可能无法作图。

第3版即将到来(http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-111852313X.html):

The Art and Craft of Problem Solving, 3rd Edition
Paul Zeitz
ISBN: 978-1-118-52313-1
400 pages
February 2015, (C)2015

最后,来一段书评:

Sometimes a piece of music or a painting or a film just leaves me speechless. This book is truly thrilling, certainly for young and beginning mathematicians but even for mature ones. Every new page I read is full of thought and insight and elegance. I wish I had had this extraordinary book when I was in high school -- I think it would have changed my life.
-- By Bob Pisani

犹如音乐一样美妙,宛若油画一般多彩,胜似电影一样生动,拿在手中,如获至宝,每一页都充满思想,富有前瞻性,分析详细而解答优雅。真希望高中时就出版了这本特别的书,如果那样的话,它肯定会改变我的一生。
--亚马逊读者评论

评论

推荐 2
特别感谢空军和学徒1为第二版提出了大量的勘误。第三版我们一定要做得专业些!另外,请大家为第三版起个合适的名字,有人觉得《怎样解题》还不够好。
与乔治•波利亚的经典名著《怎样解题:数学思维的新方法》重名确实不够好。 单墫老师去年出了一本奥数书《我怎样解题》,书名估计也是受波利亚名著的影响。 想为《The Art and Craft of Problem Solving》觅一个合适的中译名,可不容易。 –  空军 2014-10-29 20:57
征服数学难题? –  武卫东 2014-10-30 08:53
直译为《解题艺术》如何? –  空军 2014-10-30 10:07
不错,比较简明,也贴合原书的意思。 –  武卫东 2014-10-30 15:02

推荐 2
这书比国内很多竞赛资料要好,但内容上好像有点不一致。不知道图灵会不会接着引进。
让我们期待第3版中文版。 –  空军 2014-10-28 17:59
嗯,期待! –  小学徒 2014-10-28 19:44

推荐 1
题8.2.28(j) 我的解答:
以PQ为直径作圆,交给定的圆于点A(若不相交,则不存在所求的直角三角形);
连接AP并延长,交给定的圆于点B;
连接AQ并延长,交给定的圆于点C;
三角形ABC为所求。

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叫哈佛小状元
书名?似乎有点搞笑。 –  空军 2015-11-17 19:48

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