活动规则

  1. 直接回复本文即可,截止时间:2014-5-11。

  2. 所有参与本次书名投票活动的读者都有机会参与抽奖,共有5个抽奖名额,奖品为《思考的乐趣》样书一本。

备选书名

  1. 《浴缸里的惊叹:256道让你恍然大悟的趣题》

  2. 《万万没想到:256道令人拍案称奇的趣题》(or《万万没想到:256道令人拍案叫绝的趣题》)

  3. 《一个人的游戏:256道消磨时间的趣题》

内容简介

这是一本趣题集,里面的题目全部来自于作者顾森十余年来的精心收集,包括几何、组合、行程、数字、概率、逻辑、博弈、策略等诸多类别,其中既有小学奥数当中的经典题目,又有世界级的著名难题,但它们无一例外都是作者心目中的“好题”:题目本身简单而不容易,答案出人意料却又在情理之中,解法优雅精巧令人拍案叫绝。作者还有意设置了语言和情境两个类别的问题,希望让完全没有数学背景的读者也能体会到解题的乐趣。

作者简介

顾森,网名Matrix67,数学爱好者。长期为各类科普杂志供稿,从事中小学数学教育多年。著有《思考的乐趣:Matrix67数学笔记》

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样章试读

对于相对简单的问题,答案暂未公布,望读者躺进自家浴缸,一个人静静地思考,也许会有“啊哈”的惊叹哦。实在想不出,也不要悲伤,不要心急,不要怀疑自己的智商,5月12日将为大家公布所有答案,相信我,答案绝对是你万万没想到的。

8个两两接触的四面体

下图所示的是空间中的4个两两相接触的四面体。怎样在空间中放置8个两两相邻的四面体?这里我们规定,只有一个点或者一条棱相接触的不算接触。

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首先,在平面上画4个两两相邻的三角形,如图(1)所示。在这个平面的正上方添加一个顶点,与各个三角形的各个顶点相连,于是得到4个等高的四面体,如图(2)所示。容易看出,这一组四面体已经是两两接触的了。现在,再准备另一组完全相同的四面体,把这两组四面体的底面合在一起,像图(3)那样稍稍错开,最后得到图(4)那样的构造。这样一来,每一组里的每一个四面体也都会和另一组里的所有四面体都相接触,于是我们便让这8个四面体两两接触了。

enter image description here 是否存在9个两两接触的四面体呢?这是一个非常困难的问题。1991年,Joseph Zaks用了100多页的篇幅,终于证明了9个两两接触的四面体是不存在的。

在我们构造这8个四面体的过程中,我们发现了一个隐含的模式:二维空间中存在4个两两相邻的三角形,三维空间中存在8个两两相邻的四面体,而且后者是以前者为基础扩展得来的。事实上,我们可以继续扩展下去,从而得出:在d维空间中,存在2ᵈ个两两接触的d维单纯形。但是,在d维空间中,是否最多只能有2ᵈ个两两接触的d维单纯形呢?人们猜测应该是这样,但目前还不能证明。

哪种颜色的小方块更多

在下面的图中,黑色的小方块更多还是白色的小方块更多?

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在哪里系鞋带更好

你需要从机场的一号航站楼走到二号航站楼。路途分为两段,一段是平地,一段是自动传送带。假设你的步行速度是一定的,因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上的速度加上传送带的速度。如果在整个过程中,你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情(比如蹲下来系鞋带),那么为了更快到达目的地,你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好?

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有歧义的表盘

由于时针和分针的很多位置组合是不合法的,所以即使时钟的两针一样长,大多数时候也能读出正确的时间来。例如,两针一个指向12一个指向 6 ,那么前者只能是分针,后者只能是时针。但是,时针和分针的某些位置组合会让我们理论上不可能读出一个正确的时间,因为时针和分针的位置互换后,所指的时间仍然有意义。我们就说,这时的指针位置有歧义。我们的问题是,从0:00到12:00这12个小时中,指针位置会产生歧义的时刻有多少个?

答案:132个。得出这个答案有很多方法,下面这个方法我觉得最为精巧。

假设有A、B两个钟叠放在一起,A以正常的速度运转,B以12倍的速度运转。因此,B的时针将永远与A的分针重合。每当B的分针与A的时针重合时,A此时所指的时刻就是有歧义的。而B的分针比A的时针快144倍,因此A的时针转了一圈后,B的分针转了144圈,这说明从0:00到12:00这段时间里(包括0:00和12:00这两个时刻),B的分针与A的时针一共重合了144次,因而也就发生了144次歧义。

但是,为什么答案是132呢?这是因为,在这144次歧义当中,有12次是同一个钟的时针和分针本身就重合的,这实际上不会导致歧义,因此真正会导致歧义的有144-12=132个时刻。

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1+2+3=1×2×3

大家或许小时候就发现了一个有趣的现象:2加上2正好等于2乘以2。那么,是否有这么三个正整数,把它们全部加起来的结果正好等于把它们全部乘起来的结果呢?其实也是有的,比如说1+2+3=1×2×3。今天,我们将会直面这个问题。

  • (1) 是否存在4个正整数,使得它们的和等于它们的乘积?
  • (2) 是否存在5个正整数,使得它们的和等于它们的乘积?
  • (3) 是否存在100个正整数,使得它们的和等于它们的乘积?

4个正整数的解也是存在的,比如说1+1+2+4=1×1×2×4。5个正整数的解也是存在的,比如说:

1+1+1+2+5=1×1×1×2×5。

如果你仔细观察这些解,找到规律了的话,写出这样的100个数也就不难了:

1+1+1+1+…+1+1+2+100=1×1×1×1×…×1×1×2×100

因此,我们事实上证明了这样一个结论:对于任意正整数n,我们总能找到n个正整数,使得它们的和等于它们的积。不过,对于某些特定的n,满足要求的解有可能不止一个。n=5时一共有三组解,除了1+1+1+2+5=1×1×1×2×5这种“规律解”以外,还有另外两组解:

1+1+1+3+3=1×1×1×3×3

1+1+2+2+2=1×1×2×2×2

当n=13时,将会首次出现有四组解的情况:

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+13=1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×2×13

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+3+7=1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×3×7

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+4+5=1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×4×5

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+3+3=1×1×1×1×1×1×1×1×1×1×2×3×3

由此产生了一个有趣的附加题:到了n足够大的时候,会不会出现有5组解、6组解甚至100组解的情况?答案是肯定的。首先注意到,(2ᵃ+1)(2ᵇ+1)=2ᵃ⁺ᵇ+2ᵃ+2ᵇ+1,它应该等于2ᵃ⁺ᵇ-1个1、一个2ᵃ+1和一个2ᵇ+1相加的结果。因此,当n=2²⁰⁰+1时,至少会有这么100组解:前面2²⁰⁰-1个数都是1,最后两个数是2+1和2¹⁹⁹+1,或者2²+1和2¹⁹⁸+1,或者2³+1和2¹⁹⁷+1,一直到2¹⁰⁰+1和2¹⁰⁰+1。利用这种思路,我们总能找到适当的n,使得满足要求的解的个数达到任意你想要的数目。

另一方面,不管n是多少,解的个数都是有限的。我们可以用一种非常简单的方法证明这一点。假如这n个数当中最大的那个数是x,那么这n个数的总和肯定不会超过n•x,因此这n个数的乘积也不可能超过n•x,这说明前n-1个数的乘积不会超过n,进而说明每一个数都不能超过n。所以,这n-1个数的取值组合只有有限多种情况。由于每一种情况最多只能对应一个解,因而总的解数就是有限的了。等等,为什么每一种情况最多只能对应一个解呢?这是因为,假设前n-1个数的值已经确定了,不妨设它们的和为S,积为P,那么剩下的那个数x就应该满足方程S+x=P•x,于是x只能等于S/(P-1)。这是否对应了一个满足要求的解,则取决于S/(P-1)的值是不是正整数。

让我们用f(n)来表示n个正整数之和等于它们的乘积有多少种不同的情况。我们已经证明了,f(n)的值可以达到任意大,但却始终是有限的。但是,我们却很难刻画出关于数列f(n)的具体特征。2002年,经过一番计算机搜索后,Michael Ecker作出了这么一个猜测:只有有限多个n满足f(n)=1,它们分别是2, 3, 4, 6, 24, 114, 174, 444。这个猜想是否正确,至今仍然未知。

序列问题:255456376?

下一个数是多少:2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6, ?

谁支付了啤酒钱

据说,曾经在某一段时间里,美国和加拿大的货币汇率出了问题:把9美元带到加拿大去,可以换成10个加元;把9加元带到美国去,可以换成10个美元。于是,就出现了这么一个往返于美加边境的酒鬼:他用10美元在美国买了杯1美元的啤酒,把找回来的9个美元带到加拿大去,换成10加元;然后在加拿大又买了1加元的啤酒,把找回来的9个加元带到美国,再换成10美元……如此反复,他就可以不花一分钱,免费喝到无穷多的啤酒!问题出现了:究竟是谁支付了啤酒钱?

另类的俄罗斯轮盘赌

俄罗斯轮盘赌是史上最酷的决斗方式之一。左轮手枪的转轮中有六个弹槽。在其中一个弹槽中放入一颗子弹,然后快速旋转转轮,再把它合上。参与决斗的两个人轮流对准自己的头部扣动扳机,直到其中一方死亡。这是一场真男人游戏,双方胜负的概率各占50%,游戏没有任何技巧可言,命运决定了一切。

为了让游戏更加刺激,这一回我们稍微改变一下游戏规则。在转轮的连续三个弹槽中放入子弹,然后旋转并合上转轮。这一次,你是打算先开枪还是后开枪呢?

蓝眼睛岛上的故事

某座岛上有200个人,其中100个人的眼睛是蓝色的,另外100个人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的颜色,也没法看到自己眼睛的颜色。他们可以通过观察别人的眼睛颜色,来推断自己的眼睛颜色;除此之外,他们之间不能有任何形式的交流。每天午夜都会有一艘渡船停在岛边,所有推出自己眼睛颜色的人都必须离开这座岛。所有人都是无限聪明的,只要他们能推出来的东西,他们一定能推出来。岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则。

有一天,一位大法师来到了岛上。他把岛上所有人都叫来,然后向所有人宣布了一个消息:岛上至少有一个人是蓝色的眼睛。

接下来的每一个午夜里,都会有哪些人离开这座岛?

答案:从第1个午夜到第99个午夜,没有任何人离开这座岛;到第100个午夜,所有100个蓝眼睛将会同时离开。

为什么?大家不妨先这样想:什么情况下第一天就会有人离开这座岛?很简单。假如岛上只有一个蓝眼睛,那么当他听说岛上至少有一个蓝眼睛之后,他就知道了自己一定就是那个蓝眼睛,因为他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而,当天夜里他就会离开这座岛。好了,如果岛上只有两个蓝眼睛呢?他们在第一天都无法立即推出自己是蓝眼睛,但在第二天,每个人都发现对方还在,就知道自己一定是蓝眼睛了。这是因为,每个人都会这么想:如果我不是蓝眼睛,那么对方昨天就会意识到他是蓝眼睛,对方昨天夜里就应该消失,然而今天竟然还在这儿,说明我也是蓝眼睛。最后,这两个人将会在第二天夜里一并消失。

类似地,如果岛上有三个蓝眼睛,那么每个人到了第三天都发现另外两个人还没走,便能很快推出,这一定是因为自己是蓝眼睛。所以,这三个蓝眼睛将会在第三个午夜集体离开。不断地这样推下去,最终便会得出,如果岛上有100个蓝眼睛,那么每个人都会在第100天意识到自己是蓝色的眼睛,于是他们将会在第100个午夜集体离开。

很多人都会对这段解释非常满意,然而细心的朋友却会发现一个问题:在大法师出现之前,每个人都能看见99个蓝眼睛,因此每个人都知道“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”这件事情。那么,大法师的出现究竟有什么用呢?这是一个很好的问题。它的答案是:大法师的行为,让“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”的消息成为了共识。

在生活当中,我们经常会遇到与共识有关的问题。让我们来看这么一段故事。A、B两人有事需要面谈,他们要用短信的方式约定明天的见面时间和地点。不过,两人的时间都非常宝贵,只有确信对方能够出席时,自己才会到场。A给B发短信说,“我们明天10:00在西直门地铁站见吧”。不过,短信发丢了是常有的事情。为了确信B得知了此消息,A补充了一句,“收到请回复”。B收到了之后,立即回复:“已收到,明天10:00不见不散”。不过,B也有他自己的担忧:A不是只在确认我要去了之后才会去吗?万一对方没有收到我的确认短信,届时没有到场让我白等一中午怎么办?因此B也附了一句:“收到此确认信请回复”。A收到确认信之后,自然会回复“收到确认信”。但A又产生了新的顾虑:如果B没收到我的回复,一定会担心我因为没收到他的回复而不去了,那他会不会也就因此不去了呢?为了确保B收到了回复,A也在短信末尾加上了“收到请回复”。这个过程继续下去,显然是没完没了。其结果是,A、B两人一直在确认对方的信息,但却始终无法达成这么一个共识:“我们都将在明天10:00到达西直门地铁站”。

有的人或许会说,那还不简单,A给B打个电话不就行了吗?在生活当中,这的确是上述困境的一个最佳解决办法。有意思的问题出来了:打电话和发短信有什么区别,使得两人一下就把问题给解决了?主要原因可能是,打电话是“在线”的,而发短信是“离线”的。在打电话时,每个人都能确定对方在听着,也能确定对方确定自己在听着,等等,因此两人说的任何一句话,都将会立即成为共识:不但我知道了,而且我知道你知道了,而且我知道你知道我知道了……

大法师当众宣布“岛上至少有一个蓝眼睛”,就是让所有人都知道这一点,并且让所有人都知道所有人都知道这一点,并且像这样无限嵌套下去。这就叫做某条消息成为大家的共识。让我们来看一下,如果这个消息并没有成为共识,事情又会怎样。

为了简单起见,我们还是假定岛上只有两个蓝眼睛。这两个人都能看见对方是蓝眼睛,因而他们都知道“岛上至少有一个蓝眼睛”。但是,由于法师没有出现,因此他俩都不知道,对方是否知道“岛上有蓝眼睛”这件事。所以,到了第二天的时候,之前的推理就无法进行下去了——每个人心里都会想,对方没有离开完全有可能是因为对方不知道“岛上有蓝眼睛”这件事。

类似地,如果岛上有三个蓝眼睛,那么除非他们都知道,所有人都知道所有人都知道了“岛上有蓝眼睛”这件事,否则第三天的推理是不成立的——到了第三天,会有人觉得,那两个人没走仅仅是因为他们不知道对方也知道“岛上有蓝眼睛”这件事罢了。继续扩展到100个蓝眼睛的情形,你会发现,“互相知道”必须得嵌套100层,才能让所有推理能顺利进行下去。

实际上,我们的题目条件也是不完整的。“岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则”这句话应该改为“上面这些条件和规则是岛上所有人的共识”,或者说“岛上所有人都知道上面这些条件和规则,并且所有人都知道所有人都知道,等等等等”。如果没有这个条件,刚才的推理也是不成立。比方说,虽然所有人都是无限聪明的,但是如果大家不知道别人也是无限聪明的,或者大家不知道大家知道别人也是无限聪明的,推理也会因为“昨晚他没走仅仅是因为他太笨了没推出来”之类的想法而被卡住。下一章的博弈问题当中,共识的概念也会起到很大的作用。

这是一道非常经典的问题,网络漫画网站XKCD把它称作是“世界上最难的逻辑谜题”。我至少见过这个问题的四种不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number里写过一个大女子主义村的故事:村子里有50个已婚妇女,每个妇女都不知道自己的男人是否有外遇,但却可以观察到其他妇女的男人是否有外遇。规定,只要哪个妇女推出了自己的男人有外遇,当晚她就必须把自己的男人杀死。有一天,村子里来了一位女族长。女族长宣布,岛上至少有一个妇女,他的男人有外遇。实际上,每个妇女的男人都有外遇。那么最后究竟会发生什么呢?村子里的人将会度过49个平静的晚上,到第50天则会出现彻彻底底的大屠杀。

另一个与疯狗有关的版本也大致如此:村子里每个人都养了一条狗,每个人都不知道自己的狗是不是疯了,但都可以观察到别人家的狗是不是疯狗。只要推出自己的狗是疯的,当天晚上就必须用枪把它杀死。有一天,村里来了一个人,宣布了至少有一条疯狗的消息,然后前2天平安无事,第3天夜里出现了一阵枪响,问村子里实际上有多少疯狗?答案是,3条。

最后还有一个戴帽子的版本。老师给5个小孩儿每个人头上都戴了一顶黑帽子,然后告诉大家,至少有一个人头上戴着的是黑色的帽子。接下来,老师向大家提问:“知道自己戴着黑帽子的请举手”,连问四次没有反应,到了第五次则齐刷刷地举手。有的地方把“戴着黑帽子”换成“额头上点了一个墨点”,然后老师让大家推测自己额头上是否有墨点。这本质上也是一样的。

违反直觉的旅客困境

某家航空公司把两个行李箱搞丢了。这两个行李箱里装的东西完全相同,但却属于A、B两名不同的旅客。航空公司派出一名经理,与这两名旅客协商赔偿事宜。经理向这两名旅客解释说,航空公司方面无法为丢失的行李箱估价,因此需要让两名旅客各自独立地写下一个2到100之间的正整数(包括2和100),表示自己对行李箱的估价,单位是元。如果这两名旅客写下的数完全相同,航空公司方面就认为这是行李箱的真实价值,并按照这个数目对两名旅客进行赔付。但是,如果其中一名旅客写下的数比另一名旅客更低,那么航空公司方面将会认为,前者的估价是真实的。航空公司将按照这个估价对两名旅客进行赔付,但报出此价的旅客会多得2元作为奖励,另一名旅客则会少得2元,作为估价过高的惩罚。举个例子:若A、B两人分别估价50元和40元,则A将会获得38元,B将会获得42元。

如果两名旅客都是绝对理性的,并且上述所有条件都已经成为这两名旅客的共识。那么,这两名旅客将会写下怎样的数呢?

如果你是第一次听说这个问题的话,你肯定不会相信这个问题的答案:最终结果是,两个人都只估价2元。为什么呢?

容易想到,对于这两个人来说,最好的结局便是两人都估价100元,这样一来,两个人都会得到100元钱。然而,其中一个人肯定会动一下歪脑筋:“如果对方估价100元,我估价99元,那么航空公司会认为我是诚实的,我就可以得到101元了,而对方只能得到97元。”另一个人其实也想到了这一点,因而两个人会不约而同地写下99元,其结果就是,两个人各得99元。有趣的是,如果两个人都想到了对方也会写下99元,那么每个人都会发现,把自己的估价重新提高到100元是无益的,但是把自己的估价减小到98元,会让自己的收益从99元提高到100元。结果,两个人都会把估价改为98元。总之,两个人都意识到了这一点:不管对方报多少钱,我比对方少报1元总是最佳的选择。于是,这种恶性的心理战将会一直持续下去,直到每个人都推出,自己应该把估价从3元改为2元。到了这一步,两人终于不再有争斗,于是就得到了刚才所说的答案。 这个有趣的问题最早是由印度经济学家Kaushik Basu在1994年的时候提出来的,我们把它叫做“旅客困境”(traveler's dilemma)。旅客困境和本章引言提到的囚徒困境一样,都阐述了这样一个现象:如果决策者都是绝对理性的,最终的结果有可能对大家都不利。事实上,如果把旅客困境稍微修改一下,规定两名旅客只能写下“2元”或者“3元”,那么整个博弈游戏就和囚徒困境完全一样了:都写下“3元”就都得3元,都写下“2元”就都得2元,若是一个写“3元”一个写“2元”的话,则前者只得1元,后者可以得4元;于是,每个人都会发现,不管对方写的是多少,自己把“3元”改成“2元”总会让自己多得1元。结果,两人就不约而同地写下了“2元”。这其实是一个最不好的结局。

类似的博弈现象还有很多。比方说,让10个人玩一个这样的游戏:给每个人都发100元钱,然后每个人都可以选择捐出一部分钱;筹到的捐款将会用于投资,最后将会收回双倍的钱,并且均分给所有人(即使大家出的钱不一样多)。最好的结局固然是,每个人都拿出100元,最终每个人都会得到200元。但是,理性的决策者会这么想:“如果我只出99元钱,那么用于投资的基金就只有999元,最后大家将会获得1998元的回报,每个人都会分得199.8元;但是,别忘了我手里还有1元,因此最终加在一块儿,我不就有了200.8元了吗?事实上,如果我干脆一分钱也不出,我就能坐享180元的回报,我手里将会拥有280元!”如果每个人都是绝对理性的,那么每个人都会发现,自己比别人出的少,总能让自己更赚一些。最后的结果竟然是,每个人都不愿意拿出一分钱!

在生活当中,这样的现象也很多,比方说中小学生补课的问题。最好的情况应该是,每个学校都不补课,这既保证了公平性,又减轻了孩子的负担。然而,每个学校都会想,如果别的学校不补课,我们学校哪怕只补一个小时,我们就赚到了。当然,等到所有学校都意识到这一点后,每个学校都会争着再多补一个小时。其结果就是,每个学校都在没完没了地补课,于是就有了这样的悲惨现状。

Kaushik Basu提出的“旅客困境”,最大的价值就是把这种“理性的决策导致不可理喻的结果”这种现象放到了最大。在博弈论中,如果玩家们都做好决策并把所做的决策公之于众后,每个玩家都发现,单方面地修改自己的决策不会让自己更赚,我们就把此时众人的决策叫做一个“纳什均衡”(Nash equilibrium)。这是以美国数学家约翰•纳什(John Nash)的名字命名的,看过电影《美丽心灵》(A Beautiful Mind)的朋友应该对这个名字非常熟悉。我们往往会假设,如果某个博弈游戏存在唯一的纳什均衡,那么对于一群绝对自私并且绝对理性的玩家来说,这个纳什均衡就是最终的结局。旅客困境问题大胆地对这一观点发起了挑战。在旅客困境游戏中,“每个人都写2元”就是唯一的纳什均衡,按道理来说,这应该纯理性决策的最终结果。但是,这与人们的直觉以及现实的情况都相差太远了。2005年,Tilman Becker、Michael Carter和Jörg Naeve组织博弈论学会的成员玩了一次旅客困境游戏。这本应该是一群非常精于博弈分析的玩家,结果45个人当中只有3个人写下了“2元”。84.4%的人写下了大于等于90的数,其中写下“97元”、“98元”、“99元”、“100元”的分别有6人、9人、3人和10人;并且,所有人提交的结果两两相比之后,写下“97元”的人平均获利最多,大约为85元,写下“2元”的人平均获利则最少,只有3.9元。理论和现实的矛盾如此突出,以至于人们开始思考,纳什均衡真的能代表理性决策的结果吗?更进一步地问,究竟什么叫做“理性的决策”?

也就是说,最终每个人都会写下“2元”,仅仅是在“纳什均衡能代表理性决策的结果”这一假设下得到的。后来,数学家们还为“理性”下了很多不同的定义,得出了很多不同的结果,有一些或许会容易让人接受。例如,2011年,Joseph Halpern和Rafael Pass就提出用“最小遗憾”(regret minimization)来作为理性决策的标准。所谓一个决策的“遗憾度”,就是知道了对方的策略实际上是什么以后,最坏情况下会有多后悔。比方说,如果我写下了“50元”,后来发现对方写的是“40元”,于是我只得到38元。那么我心里会想:“要是刚才我写的是39元就好了,这样我就可以得到41元,能比我现在多得3元。”但是,这还不是最坏的情况。最坏的情况就是,后来发现对方写的竟然是100元,于是我只得到52元。我肯定会后悔死:“要是刚才我写的是99元就好了,这样我就可以得到101元,能比我现在多得49元。”这个“49元”就是我写下“50元”之后的遗憾度。那么,在所有可能的决策中,遗憾度最小的决策是什么呢?遗憾度最小的决策有5个,分别是“96元”、“97元”、“98元”、“99元”和“100元”,可以验证,它们的遗憾度都是3。你会发现,如果把“理性的决策”定义为“使得遗憾度达到最小的决策”,结果会非常符合实际!

最少需要多少通电话

公司里有100个女生,每个女生都有一个独家八卦消息。两个女生可以通过电话联系,一通电话将使得双方都获知到对方目前已知的全部消息。一个有趣的问题是,要想所有100个女生都知道所有100条八卦消息,最少需要多少通电话呢?你的任务是,设计一种只用196通电话的方案。

哪句话的结构不一样

下面四句话中,哪一句话的结构和其他三句不一样?

A. 我和他都去 B. 我和他一起去 C. 我和他不用去 D. 我和他必须去

答案是B。当然,得出答案不仅仅是凭借语感,我们有很多令人信服的理由来说明,“我和他一起去”的结构与其他三句真的不一样。我们可以在“我和他一起去”中加入“想”、“要”等词,变成“我想和他一起去”、“我要和他一起去”,但是其他三句话都不能这样变。用删去成分的方法也能辨析出两种结构的区别来。“我和他一起去”可以省略为“和他一起去”,但是单独说“和他都去”、“和他不用去”、“和他必须去”都是不行的。究其原因,是由于第二句中“和”字是介词,而其他三句中的“和”是连词。

在汉语中,“和”既可以作连词,又可以作介词。上述办法都是判断“和”的词性的有效手段。例如,“我和他下棋”、“我和他一样高”中的“和”就是介词,“我和他刚到”、“我和他不同意”中的“和”就是连词。

怎样安全到达地面

假设你被困在一幢200米高的大楼的楼顶。你手里有一根150米长的绳子和一把瑞士军刀。你所站的地方有一个铁钩子。往楼下看时,你发现大楼正中间,也就是100米高的位置上,有一个可以落脚的金属支架,上面还有另外一个钩子。你怎样才能利用这些东西安全到达地面?

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把绳子割成50米和100米两段。把50米绳子的一端拴在楼顶的钩子上,另一端打一个小环。让100米长的绳子穿过这个环,再把它的两头系在一起形成一个绳圈。沿着绳子下滑到落脚点。把100米长的绳子割断并收回来,然后把其中一端拴在钩子上。沿着绳子下滑到地面。

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书名投票结果、获奖读者及趣题答案揭晓